Nacido en Ocean Hill, Brooklyn, el 21 de marzo de 1917, sus progenitores, Maria y Agostino Coppola, habían emigrado desde Italia. Fue un niño prodigio que a los ocho años formaba parte del coro infantil de la Ópera Metropolitana de Nueva York. Se licenció en composición en Manhattan School of Music, donde posteriormente ejercería la docencia, y recibió doctorados honorarios de la Universidad de Tampa y la Universidad de Quinnipiac en Connecticut. Durante la II Guerra Mundial, sirvió en el ejército como director de una banda musical. Al término de la contienda, se incorpora durante mucho tiempo a la plantilla del Radio City Music Hall y después dirigió los departamentos de Sinfonía y Ópera en Manhattan School of Music.
Anton trabajó con su sobrino, Francis Ford Coppola, pues aparece al timón de la orquesta que interpreta "Cavalleria Rusticana", en el tramo final de El Padrino III; y además, dirigió realmente la grabación de la pieza para la banda sonora de ese film, y de la música de Drácula. También apareció en un capítulo de la serie Mozart in the Jungle, creada por sus sobrinos Roman Coppola (hijo de Francis) y Jason Schwartzman (hijo de Talia).
Anton Coppola se casó con una bailarina de ballet, Almerinda Drago, a fines de la década de 1940, y tuvieron dos hijos, Bruno y Lucía. Fue tío abuelo de Nicolas Cage y de la realizadora Sofia Coppola. Seguía activo cuando ya tenía una edad avanzada. ""Los directores de orquesta tenemos que tener la mente activa muy activa, y eso contribuye al bienestar físico", dijo en una entrevista. "Todavía no estoy cansado. Cuando la gente me pregunta cómo he logrado vivir tanto tiempo, digo 'Pasta e fagioli'".
